Totális derivált (derivált)

Emlékeztető: 1 dimenzióban

Definíció 1

A \in ℝ = f^{'} (x_{0}) = {lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

Definíció 2

A \in ℝ = f^{'} (x_{0}) \Leftrightarrow \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} - A = ε (x) \to 0

Több dimenzióban

$f : ℝ^{p} \to ℝ$ függvény totálisan differenciálható ${\underset{―}{x}}_{0} \in ℝ^{p}$ pontban, ha

\exists \underset{―}{A} \in ℝ^{p}, ε : ℝ^{p} \to ℝ, {lim}_{\underset{―}{x} \to {\underset{―}{x}}_{0}} ε (\underset{―}{x}) = 0 \newline f (\underset{―}{x}) = f ({\underset{―}{x}}_{0}) + \underset{―}{A} \cdot (\underset{―}{x} - {\underset{―}{x}}_{0}) + ε (\underset{―}{x}) | \underset{―}{x} - {\underset{―}{x}}_{0} |, \forall x \in D_{f}

Ekkor:

\underset{―}{f^{'}} ({\underset{―}{x}}_{0}) : = \underset{―}{A}

Egyenértékű definíció

Az $f^{'} ({\underset{―}{x}}_{0}) = \underset{―}{A}$ állítás egyenértékű a következővel:

{lim}_{\underset{―}{x} \to {\underset{―}{x}}_{0}} \frac{f (\underset{―}{x}) - f ({\underset{―}{x}}_{0}) - \underset{―}{A} \cdot (\underset{―}{x} - {\underset{―}{x}}_{0})}{| \underset{―}{x} - {\underset{―}{x}}_{0} |} = 0 = {lim}_{\underset{―}{x} \to {\underset{―}{x}}_{0}} ε (\underset{―}{x})

Feltételei

$f$ folytonos ${\underset{―}{x}}_{0}$ -ban
$f$ parciális deriváltjai léteznek ${\underset{―}{x}}_{0}$ -ban
Definíció szerinti határérték létezik és megfelel

Szemléletesebb magyarázat

A totális derivált lényegében a függvény érintősíkját írja le. Ahogy 1 dimenzióban a derivált a legjobb lináris közelítés volt, úgy több dimenzióban a totális derivált a legjobb lineáris közelítés.