Cauchy-sorozat

Definíció

a_{n}

Sorozat Cauchy-sorozat, ha $\forall ϵ > 0$

\exists N : \forall n, m \geq N

| a_{n} - a_{m} | < ϵ

Szavakkal: A Sorozat elemei tetszőleges közel vannak egymáshoz elég nagy $N$ után

Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat

ϵ / 2

távra tud lenni bármely két eleme elég nagy $N$

esetén. Háromszög egyenlőtlenség

$ℝ$ -ben minden Cauchy-sorozat konvergens

Be kell látni, hogy a Sorozat korlátos. Ezután be kell látni, hogy van $c$ -hez konvergáló Részsorozat (Bolzano-Weierstrass tétel). Mivel a Sorozat Cauchy-sorozat, ezért kellően nagy N esetén a Sorozat elemei bármilyen közel tudnak kerülni egymáshoz. Mivel a Részsorozat bármilyen közel tud kerülni $c$ -hez és a többi elem is bármilyen közel kerül a részsorozatban lévő elemekhez, ezért a Sorozat egésze bármilyen közel tud kerülni $c$ -hez, tehát konvergens.

Cauchy-sorozat

Definíció

Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat

ℝ-ben minden Cauchy-sorozat konvergens

$ℝ$ -ben minden Cauchy-sorozat konvergens