Young-tétel

Állítás

Ha f kétszer folytonosan diffható (a deriváltja is diffható) akkor fxy″=fyx″

Eml.: Taylor polinom

Tn(x)=∑i=0nf(n)(a)n!(x−a)n

Eml.: Lagrange maradéktag

Egy adott Taylor-polinom esetén:

f(x)=Tn(x)+Rn(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)+(x−x0)22!f″(x0)+⋯+(x−x0)nn!f(n)(x0)+Rn

Ahol Rn a Lagrange maradéktag. Ilyenkor létezik egy olyan x~ x0 és x között, hogy a következő kifejezés igaz legyen:

Rn(x)=f(n+1)(x~)(n+1)!(x−x0)n+1

Tehát n=1-re fel lehet írni a következőt:

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f″(x~)(x−x0)2
f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)=12f″(x~)(x−x0)2

Bizonyítás

G(t)=1t2(\textcolorpurple[f(x+t,y+t)−f(x,y+t)]−\textcolorgreen[f(x+t,y)−f(x,y)])
\textcolorpurplef(x+t,y+t)−f(x,y+t)=g(x+t)−g(x)=g′(x)(x+t−x)+12g″(x~)(x+t−x)2=\textcolorpurplefx′(x,y+t)t+12fxx″(x~,y+t)t2
f(x,y+t):=g(x)\newlinefx′(x,y+t)=g′(x)\newlinefx″(x,y+t)=g″(x)

Hasonlóan:

\textcolorgreenf(x+t,y)−f(x,y)=\textcolorgreenfx′(x,y)t+12fxx″(x~~,y)t2

Feltéve, hogy (x,y) fix

G(t)=\textcolorpurplefx′(x,y+t)−\textcolorgreenfx′(x,y)t+12(\textcolorpurplefxx″(x~,y+t)−\textcolorgreenfxx″(x~~,y))

A Lagrange-tételt felhasználva:

g(y)=fx′(x,y)
g(y+t)−g(y)t=g′(y~)=\textcolororangefxy″(x,y~)

Ezt visszahelyettesítve

G(t)=\textcolororangefxy″(x,y~)+12(\textcolorpurplefxx″(x~,y+t)−\textcolorgreenfxx″(x~~,y))
limt→0G(t)=fxy″(x,y)

Mivel

limt→012(\textcolorpurplefxx″(x~,y+t)−\textcolorgreenfxx″(x~~,y))=0

Azért tart 0-ba, mert mind x~, mind x~~ az x és x+t közötti intervallumon helyezkednek el, így, ahogy t tart 0-ba úgy tartanak x-be.

Vegyük észre, hogy:

G(t)=1t2([f(x+t,y+t)−f(x+t,y)]−[f(x,y+t)−f(x,y)])

Így a G(t) függvényt nem változtattuk, azonban az x és az y szerepe felcserélődött így, ahogy t→0 úgy G(t)→fyx″(x,y), ami így egyenlő kell leyen fxy″(x,y)-al. Ezzel az állítást beláttuk.