Többdimenziós diffhatóság

Definíció 1

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

függvény differenciálható, az $\underset{―}{a} \in int D_{f}$

pontban ( $int D_{f}$

a belső pontok halmaza), ha $\exists A : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$

lineáris leképezés és $\underset{―}{ε} : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$

leképezés, amelyre ${lim}_{\underset{―}{x} \to \underset{―}{a}} \underset{―}{ε} (\underset{―}{x}) = \underset{―}{0}$

, és $\underset{―}{f} (\underset{―}{x}) = \underset{―}{f} (\underset{―}{a}) + A (\underset{―}{x} - \underset{―}{a}) + \underset{―}{ε} (\underset{―}{x}) | \underset{―}{x} - \underset{―}{a} |$

\forall \underset{―}{x} \in D_{f}

. Ekkor ${\underset{―}{f}}^{'} (\underset{―}{a}) = A$

Definíció 2

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

függvény differenciálható, az $\underset{―}{a} \in int D_{f}$

pontban, ha $\underset{―}{\underset{―}{A}} \in ℝ^{m \times n}, ε$

$f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ függvény differenciálható, az $\underset{―}{a} \in int D_{f}$ pontban ( $int D_{f}$ a belső pontok halmaza), ha $\underset{―}{\underset{―}{A}} \in ℝ^{m \times n}$ mátrix és $\underset{―}{ε} : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ leképezés, amelyre ${lim}_{\underset{―}{x} \to \underset{―}{a}} \underset{―}{ε} (\underset{―}{x}) = \underset{―}{0}$ , és $\underset{―}{f} (\underset{―}{x}) = \underset{―}{f} (\underset{―}{a}) + \underset{―}{\underset{―}{A}} (\underset{―}{x} - \underset{―}{a}) + \underset{―}{ε} (\underset{―}{x}) | \underset{―}{x} - \underset{―}{a} |$ $\forall \underset{―}{x} \in D_{f}$ . Ekkor ${\underset{―}{f}}^{'} (\underset{―}{a}) = A$ (standard bázisban)