Iránymenti derivált

Ugyanúgy ahogy a sima parciális derviáltnál egy adott $y = y_{0}$ egyenes mentén néztük úgy egy adott irány mentén is lehet.

Definíció 2 dimenzióban

Tegyük fel, hogy $\underset{―}{v} \in ℝ^{2}$ és $\underset{―}{v} \neq \underset{―}{0}$

Ekkor $f$ $\underset{―}{v}$ irányú deriváltja az $(x_{0}, y_{0})$ pontban

f_{\underset{―}{v}}^{'} (x_{0}, y_{0}) = {lim}_{t \to 0} \frac{f ((x_{0}, y_{0}) + t \frac{v}{| \underset{―}{v} |}) - f (x_{0}, y_{0})}{t}

Lényegében megnézzük, hogy nagyon kicsit $v$ irányába mozdulunk a függvény grafikonján, akkor hogyan változik a függvényérték.

Definíció $p$ dimenzióban

f : ℝ^{p} \to ℝ

\underset{―}{v} \in ℝ^{p} \ {0}

f_{\underset{―}{v}}^{'} ({\underset{―}{x}}_{0}) = {lim}_{t \to 0} \frac{f ({\underset{―}{x}}_{0} + t \frac{\underset{―}{v}}{| \underset{―}{v} |}) - f ({\underset{―}{x}}_{0})}{t}